Für die Spezies...Wie geht das?

Stichwort: Hypotenuse

Machen wir es etwas spannender, kann ja nicht gleich alles verraten.

Ja und dann? Wenn der Phytagoras recht hat (a² + b² = c²) hilft das erst mal nicht weiter, oder?

Augenreibend - und mit einem vorsichtigen Blick auf die breiten, schwarzen Linien - SKY

Schau einfach nochmal ganz genau hin und laß Pythagoras nen netten Mann sein.

Vielleicht mal ganz unmathematisch ... ein Blatt Papier oder Lineal ....
Viele Grüße
Lok1414

Machen wir es in 9-live Manier?

Wie viele Hypotenusen seht Ihr denn?

Banane, Banane......

Bei gleichem Flächeninhalt aller vier Elemente kann kein "Loch" bei bloßem Verschieben der Teile entstehen. Des Rätsels Lösung ist eine ganz kleine optische Täuschung.

Ich habe die Hypothenusen der jeweiligen Gesamtdreiecke mal mit einer GERADEN roten Linie nachgezeichnet
Man sieht, dass beim oberen Dreieck die Hypothenuse leicht konkav, beim unteren leicht konvex ist. Die Differenfläche entspricht genau dem fehlenden Kästchen.

Da kenn ich auch noch einen (ohne Bilder, nur zum lesen):

3 Leute in der Pizzeria, jeder der 3 isst eine Pizza für 10,- €.

Der Ober kommt kassieren, die geben ihm gesamt 30,- €.
Nun sagt der Wirt zum Ober:" Das sind Stammgäste, gib denen
mal 5,- € gesamt zurück."

Der Ober denkt:
"5,- € durch 3 Gäste lässt sich schlecht teilen. Ich gebe jedem Gast
1,- € zurück, also gesamt 3,- € und behalte die restlichen 2,- € selbst."

Nun hat jeder Gast 1,- € zurückbekommen, also hat jeder nur 9,- € für seine Pizza bezahlt.
3 x 9,- € macht 27,- € + die 2,- €, die der Ober eingesteckt hat, sind aber zusammen nur 29,- €.

Wo ist der 1,- € geblieben? :wink: (Eigentlich ganz einfach.)

30 - 5 = 25

25 + 3 = 28

28 + 2 = 30

Zitat von "klauston"

30 - 5 = 25

25 + 3 = 28

28 + 2 = 30

Habe ich doch gesagt, ganz einfach. Aber bei einem Bierchen an der Theke
sind die Leute immer erst ganz verblüfft.

Wie sagte mein alter Mathematiklehrer:

"Wenn 5 Leute im Zimmer sind, und 8 Leute gehen raus,
dann müssen 3 wieder reinkommen, damit das zimmer leer ist."

Das ist eine typische Geschichte, bei der man mit einer falschen Rechnung in die Irre gelockt werden soll. Hier werden nämlich Dinge falsch verrechnet, die nichts miteinander zu tun haben.

Die effektiven Kosten, die hier auftreten, sind 25 Euro für die Pizza (jeder bezahlt rechnerisch bis hierhin also 8 1/3 Euro, was aber unrelevant ist für die Problemstellung) und 2 Euro, die der Ober als Schwarzgeld kassiert. Das sind 27 Euro. Es wurden 30 Euro bezahlt, und jeder der drei bekam einen Euro zurück (3 x 1 Euro). Somit ist die Sache völlig korrekt gelaufen.

Eine andere Erklärung für die, die immer noch zweifeln.
Die Männer geben 3 x 10 = 30 Euro ab. Sie erhalten 3 x 1 Euro zurück, haben also effektiv 27 Euro ans Wirtshaus bezahlt. Zwei Euro davon wandern allerdings in Obers Negerkasse. Damit verdient das Wirtshaus tatsächlich 27 - 2 = 25 Euro. Jene zwei Euro, die in Heinis Fragestellung fälschlicherweise zu den 27 Euro hinzuaddiert wurden, müssen abgezogen werden, die versickern nämlich in einer dunklen Hosentasche.

Es werden durch die Problemstellung Sachverhalte und Zusammenhänge suggeriert, die nicht existieren bzw. die falsch sind. Noch ein anderer Denkansatz: wir haben es hier nicht mit einer Einnahmen-Ausgaben-Rechnung zu tun, es gibt nämlich drei Parteien, die hier Geschäfte machen: das Wirtshaus (mit Einnahmen), die Gäste (mit Ausgaben) und der Ober schließlich auch, der hier nicht auf Rechenschaft seines Arbeitgebers handelt, sondern einen eigenen Betrieb aufmacht. Und genau dort liegt der Hase begraben. Die Gäste haben unterm Strich 27 Euro Verlust, der Wirt 25 Euro Einnahmen. Die Differenz von 2 Euro ist die Einnahme beim Herrn Ober.

Soweit zur korrekten Rechnung. Jetzt aber noch zur Frage, wo der fehlende Euro geblieben ist.
Nun, der Euro fehlt gar nicht. Die 1€-Differenz entsteht durch die oben bereits angesprochene Falschrechnung. Die Gäste bezahlen 27 Euro insgesamt. Darin ist das Schwarzgeld des Obers aber schon enthalten. (!) Zählt man jetzt 2 Euro dazu, hat man den schwarzen Betrag doppelt in die Rechnung einfließen lassen. Darin liegt der logische Fehler hier, man muss sie nämlich nicht dazuzählen, sondern abziehen, weil sie bereits enthalten waren. Wenn man erstmal den falschen Blödsinn addiert hat, kann man natürlich auch eine ebenso blödsinnige Frage stellen, wo der scheinbar fehlende Euro geblieben sein kann.

Na, wer hat das jetzt noch nicht verstanden?

Und weil's so schön ist, trete ich noch den Beweis dafür an, dass es sich bei der Zeichnung dort oben tatsächlich um eine optische Täuschung bzw. Fälschung handelt.

Wir schauen uns mal die Flächeninhalte der Figuren an. Dankenswerterweise sind die ja auf Karopapier, so dass wir, ohne zu messen, prima in der Relativgröße "Kästchen" (K) rechnen können.

Figur gelb: 7K (das kriegen wir durch Abzählen heraus)
Figur grün: 8K (ebenfalls Abzählen)

Die beiden anderen Figuren scheinen dem Auge nach Dreiecke zu sein. Für den Flächeninhalt des Dreieckes gilt die altbekannte Maßgabe 'Grundfläche mal Höhe geteilt durch zwei'. Dann schauen wir, was wir herausbekommen, ausgedrückt in unserer Kästcheneinheit K:

Figur rot: (8 x 3) : 2 = 12K (die Klammern dienen der Veranschaulichung)
Figur blau: (5 x 2) : 2 = 5K (vgl. oben; die Einheiten sind zu vernachlässigen)

Diese Tatsachen lassen sich unter den formulierten Annahmen aus dem obigen Bild ableiten. Sie gelten offenkundig genau so für das Bild darunter. Die einfachen Vielecke bleiben nämlich identisch, sowohl durch Augenschein als auch messtechnisch nachweisbar. Und auch unsere beiden Figuren rot und blau verändern sich offenbar nicht, denn Grundfläche und Höhe haben dieselben Maße (8 x 3 bzw. 5 x 2).

Was jetzt folgt, nennt der Mathematiker deduktive Logik. Wenn wir uns bei den Kästchen nicht verzählt haben (haben wir nicht), und wenn wir uns über die Gültigkeit der Formel für die Flächenberechnung im Dreieck einig sind (sind wir - sie lässt sich sehr einfach aus der Flächenberechnungsformel für das Rechteck ableiten), und wenn diese beiden Annahmen auch für beide Bilder gelten (das tun sie, wir haben die Kästchen der entscheidenden Figuren an den Katheten Grundfläche und Höhe ja abgezählt und verglichen, die Zählmaße sind dieselben), dann muss irgendwo anders eine Falschannahme stecken.

Dafür bleibt letztlich nur noch eine weitere Annahme übrig: nämlich die Tatsache, dass durch Aneinanderlegung der beiden Hypotenusen eine Strecke im mathematischen Sinn entsteht, die dann wiederum die Schein-Hypotenuse des großen Gesamtdreiecks bildet. Das wird zwar automatisch angenommen, tatsächlich aber handelt es sich dabei nicht um eine Strecke, sondern um einen Streckenzug, bestehend aus zwei einzelnen Strecken. Die beiden anderen Seiten (Katheten) laufen deckungsgleich zu den Linien des Karopapiers, was man durch Nachzeichnen auch leicht überprüfen kann.

Edit: Formulierungsungenauigkeit im vorangegangenen Absatz abgeändert - Dank an Chris für den Hinweis

Durch die Dicke der Linie fällt der Schwindel praktisch nicht auf. Eine Strecke diesen Ausmaßes als gekrümmt zu identifizieren ist darüberhinaus für unser Auge ohnehin schwierig, während das Loch als Ansammlung der erschwindelten Flächeninhalte sofort ins Auge sticht.

Kommt ihr hier mit billigen Tricks

Stimmt nicht ganz, Philipp. Die beiden Dreiecke sind sehr wohl Dreiecke. Ganz der Mathematischen Definition nach. Die einzelnen Hypothenusen sind auch nicht gekrümmt. Aber:
Die Winkel der beiden Dreiecke sind unterschiedlich. Sehr leicht am Seitenverhältnis zu erkennen: 8/3 macht 2,66; 5/2 macht 2,5. Dieser geringe Unterschied sorgt dafür, dass wir das mit bloßem Auge nicht erkennen können. Wenn wir die beiden Dreiecke nun aneinanderlegen, wie in der Aufgabe dargestellt, ergibt sich kein Gesamt-Dreieck. Denn hier ist eben die Hypotenuse über beide Dreiecke gekrümmt. Daher der Fehler in der Flächenberechnung.

Chris - Danke für den Hinweis. Das hatte ich etwas blöd formuliert. Von einer Krümmung zu sprechen, ist hier auch nicht ganz optimal, weil da nichts Rundes im Spiel ist, sondern die beiden Hypotenusen der kleinen Dreiecke einen Streckenzug bilden. Und der ist eben keine gerade Linie, sondern hat eine eckige Delle drin. Die Hypotenusen der kleinen Dreiecke haben unterschiedlichen Steigungsfaktor, den man mit bloßem Auge aber kaum ausmachen kann.

Kann man übrigens auch nachvollziehen, wenn man die Teile bastelt. Die beiden kleinen Dreiecke sind zwar an sich okay, aber was dabei herauskommt, wenn man damit puzzelt, ist nicht das, wofür man es auf den ersten Blick hält.

Wenn man die beiden Dreiecke, so wie sie im Bild zu sehen sind, ausschneidet und übereinanderlegt, so dass ihre höchsten Punkte zur Deckung kommen und die kürzere Kathete ebenfalls (bzw. rückwärts der Punkt unten links und die längere Kathete), dann sieht man das Ausmaß der Pfuscherei: plötzlich weicht die eine Hypotenuse nämlich sichtbar von der anderen ab. Die Differenz summiert sich zum überzähligen Kästchen.

Jetzt gebt ihr es euch aber dreckig. Was jetzt noch fehlt ist dieser Fernsehmatemathiker, der hier das ganze nochmal 1 Stunde lang in Formeln auseinander nimmt. Daher wußte ich z.B. die Lösung, da habe ich es nämlich gesehen.

Du guckst auch nur Scheiß

Sowas nennt sich Fernsehschlafen, ich penne Abends bei einem guten Thema oder Film vor der Kiste ein und wache morgens bei solchen Sendungen, die nicht mal uninteressant sind, oder auch schonmal bei Dora bzw. Blau und schlau auf. Ist dann nicht ganz so schön wenn du aufwachst und glaubst du bist im falschen Film bis du realisierst das es nur dein Fernseh ist der dir so nen Müll an den Kopf wirft.

Zu diesem Thema gibt es ganze Bücher - unser Hirn spielt uns oftmals einen Streich. Habe es leider gerade nicht zur Hand. Bei Gelegenheit such ich mal die ISBN raus, für Interessierte. Aber Vorsicht - man wird leicht Wahnsinnig dabei

Zitat

Du guckst auch nur Scheiß

Bitte nichts gegen die "Telekolleg" Sendungen, und weiteres Bildungsfernsehen im BR.

Dieser 80er Jahre Studioschick inkl. Dozent im beigen Rollkragenpullover,
grüne Computermonitore die in der Kamera Shuttern oder die ultramodernen Animationen auf blauem Hintergrund, unterstützt von der Magnettafel. Ganz ohne visualizer, beamer und 3D Animationen. Und man lernt sogar was dabei. Wo gibts denn sowas noch im Fernsehen?

Wer der lasziv bekleideten Damen in den Werbespots des privat Fernsehns überdrüssig ist die einen unsanft aus dem Schlaf reissen, dem empfehle ich die Wiederholungen mit Heinz Haber im Nchtprogramm des BR. (Klassiker: "Weltenraum" ). 30 Jahre alt, aber immer noch interessant - und auch verständlich. Besonders Interessant macht es eigentlich das man sieht was damals so stand der Technik war, im Vergleich zu heute. Allerdings nur für Leute die nicht gleich umschalten wenn sie eine SW Sendung und Formeln mit 2 Unbekannten sehen. Sowas könnte man heute nicht mehr bringen - Formeln im TV. Da würde doch 80% der Kids umschalten zu DSDS oder Richter XYz... Wer sowas mag: H. Lesch ist auch nicht schlecht -wenn er wieder mal wieder versucht zu erklären was ein schwarzes Loch oder dunkle Materie ist. Das ist zwar schon wesentlich popularwissenschaftlicher, aber mal was wohltuend anderes als das ganze sonstige "Edutainment" der privaten und mitlerweile auch ÖR.